Geschwindigkeit & Beschleunigung

IMPP-Score: 3

Grundlagen: Geschwindigkeit und Beschleunigung im Alltag und in der Physik

Geschwindigkeit: Intuitive und Physikalische Bedeutung

Im Alltag wie in der Pharmazie sind Geschwindigkeit und ihre korrekte Erfassung zentral – etwa bei Diffusions-, Lösungs- oder Transportvorgängen. Aber beginnen wir anschaulich: Geschwindigkeit beschreibt, wie schnell und in welche Richtung sich etwas bewegt. Fährst du mit dem Fahrrad oder Auto, gibt sie an, wie viele Meter (oder Kilometer) du pro Sekunde (oder Stunde) zurücklegst und in welche Richtung dies geschieht.

Physikalisch drückt das die Formel aus:

\[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

  • \(v\): Geschwindigkeit (Vektor!)
  • \(\Delta s\): zurückgelegte Strecke
  • \(\Delta t\): dafür benötigte Zeitspanne

Geschwindigkeit ist immer ein Vektor, d.h. es sind sowohl Betrag (z.B. 50 km/h) als auch Richtung (z.B. nach Norden) zu berücksichtigen. Zwei identische Beträge, aber entgegengesetzte Richtungen → unterschiedliche Geschwindigkeit!

Geschwindigkeit messen, darstellen und verstehen

  • Alltagsbeispiele:
    • Auto-Tacho: Zeigt den Betrag der Geschwindigkeit an; Richtung ergibt sich aus der Fahrtrichtung.
    • Karussell/Kreisbewegung: Betrag der Geschwindigkeit kann konstant sein, aber die Richtung ändert sich stetig.
  • Diagramme:
    • Im \(s\)-\(t\)-Diagramm (Weg-Zeit): Die Steigung der Kurve gibt die Geschwindigkeit an.
    • Steile Steigung = hohe Geschwindigkeit, flache Steigung = geringe Geschwindigkeit.
    • Waagerechte Linie = Stillstand (\(v = 0\)).
NoteGeschwindigkeit als Vektor – Richtung muss mitgedacht werden!

Auch wenn zwei Autos gleich schnell fahren, ist ihre Geschwindigkeit verschieden, wenn die Richtungen entgegengesetzt sind. Diesen Vektor-Charakter prüft das IMPP gerne!

Durchschnitts- vs. Momentangeschwindigkeit

  • Durchschnittsgeschwindigkeit:
    \[ v_{\text{mittel}} = \frac{s_{\text{gesamt}}}{t_{\text{gesamt}}} \] Zeigt, wie viel Strecke durchschnittlich pro Zeiteinheit zurückgelegt wurde, egal ob zwischenzeitlich schneller oder langsamer gefahren wurde.
  • Momentangeschwindigkeit:
    Gibt den aktuellen “Augenblickswert” an; entspricht beispielsweise dem, was der Tacho jetzt gerade zeigt.
NoteIMPP-Fokus: Durchschnitt oder Momentwert?

Im Examen wird Wert darauf gelegt, dass ihr den Unterschied klar erkennt. Durchschnitt = Gesamtweg durch Gesamtzeit; Momentangeschwindigkeit = aktueller Wert, z.B. am Tacho.

Einheitenumrechnung: km/h \(\longleftrightarrow\) m/s

  • km/h in m/s: : 3,6
  • m/s in km/h: × 3,6

Beispiel: \(36\,\mathrm{km/h} = 10\,\mathrm{m/s}\); \(10\,\mathrm{m/s} = 36\,\mathrm{km/h}\)

Was ist Beschleunigung?

Wenn sich die Geschwindigkeit (Betrag oder Richtung!) ändert, spricht man in der Physik von Beschleunigung. Auch diese ist ein Vektor – mit Richtung und Betrag.

Formel: \[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \]

  • \(a\): Beschleunigung
  • \(\Delta v\): Änderung der Geschwindigkeit (kann Betrag oder Richtung betreffen)
  • \(\Delta t\): dafür benötigte Zeit

Einheit: \(\mathrm{m/s^2}\)

Alltagsbedeutung:

  • positive Beschleunigung: schneller werden (Gas geben)
  • negative Beschleunigung: langsamer werden (Bremsen; auch “Verzögerung” genannt)
  • null Beschleunigung: konstante Geschwindigkeit
NoteNicht nur schneller, sondern auch Richtungswechsel = Beschleunigung!

Wenn du mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis fährst, spürst du trotzdem eine Beschleunigung – die Richtung ändert sich nämlich ständig.

Beschleunigung in Diagrammen und im Alltag erkennen

  • v-t-Diagramm (Geschwindigkeit-Zeit): Die Steigung stellt die Beschleunigung dar.
    • Steil ansteigend: starke Beschleunigung
    • Flach ansteigend: geringe Beschleunigung
    • Waagerecht: keine Beschleunigung
  • Alltag: Beim Start aus dem Stand (Ampelstart) steigt die Geschwindigkeit von \(v_0 = 0\) → Beschleunigung.

Typische Beispiele

  • Freier Fall:
    Die Erdbeschleunigung \(g \approx 9,81\,\mathrm{m/s^2}\) sorgt für konstante Beschleunigung nach unten. \[ v(t) = g t \] \[ s(t) = \frac{1}{2} g t^2 \]
  • Bremsvorgang:
    Negative Beschleunigung (Verzögerung). Die Geschwindigkeit fällt linear, bis zum Stillstand.
  • Kreisbewegung:
    Die Zentripetalbeschleunigung zeigt immer zur Kreismitte: \[ a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r \] \(r\): Bahnradius, \(\omega\): Winkelgeschwindigkeit.
Note“Gas geben” und Bremsen – beides ist Beschleunigung!

Auch beim Bremsen hast du eine (negative) Beschleunigung. Fragestellungen im Examen zielen genau auf diesen Unterschied ab.

Zusammenhang: Strecke, Zeit, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Physikalisch lassen sich Bewegungen meist auf zwei Grundformen reduzieren:

  • Konstante Geschwindigkeit:
    Keine Beschleunigung, z.B. Tempomat im Auto. \[ s = v t \]
  • Konstante Beschleunigung:
    Z.B. freier Fall, gleichmäßiges Gasgeben. \[ v(t) = v_0 + a t \] \[ s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \]

Diagramm-Interpretation:

  • \(s\)-\(t\)-Diagramm: Steigung = Geschwindigkeit; Krümmung = Beschleunigung
  • \(v\)-\(t\)-Diagramm: Steigung = Beschleunigung; waagrecht = konstante Geschwindigkeit

Beispiele:

  • Freier Fall: Ball fällt mit \(v_0 = 0\), Geschwindigkeit wächst linear, Weg quadratisch.
  • Bremsvorgang: Geschwindigkeit nimmt bis Null ab (linear im \(v\)-\(t\)-Diagramm).
NoteDiagramm-Lesen als Examenklassiker!

Das IMPP prüft oft, wie du Strecken-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Diagramme interpretieren kannst, insbesondere zur Erkennung von Bewegungstypen und Beschleunigungsarten.

Vektoren: Richtung und Betrag bei Geschwindigkeit und Beschleunigung

Warum sind Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren?

Beide Größen haben eine Richtung und einen Betrag. Das wird in der Physik besonders relevant, wenn Bewegungen nicht einfach nur geradeaus laufen. Schon im Alltag treten oft Bewegungen in mehreren Richtungen gleichzeitig auf.

Beispiel: Du gehst auf einem fahrenden Schiff. Relativ zum Schiff hast du eine Geschwindigkeit, relativ zum Ufer ergibt sich (durch Addition) eine ganz andere Geschwindigkeit.

Komponentenzerlegung und vektorielle Addition

Typisch bei Bewegungen über Flüsse, im Flugzeug mit Seitenwind oder beim Ballwurf: Du zerlegst Geschwindigkeiten in x- und y-Komponenten. Die Gesamtrichtung berechnest du als Vektorsumme (meist per Satz des Pythagoras):

\[ v_\text{gesamt} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \]

Das gilt in gleicher Weise für Beschleunigungen und alle anderen vektoriellen Bewegungsgrößen.

Alltagsbeispiele

  • Boot über Fluss: Boot fährt quer (x), Flussströmung längs (y). Die Bahn des Boots ergibt sich als Summe beider Vektoren.
  • Flugzeug im Wind: Flugrichtung und Wind ergeben zusammengesetzte Geschwindigkeit über Grund.
  • Laufband: Geschwindigkeit relativ zum Band plus Bandspeed: Summe ergibt Geschwindigkeit zum Boden.
NoteBezugssystem und Relativgeschwindigkeit: Immer klar den Standpunkt definieren!

Ob du Geschwindigkeit relativ zu einem anderen Objekt, zum Boden, zum Boot oder zum Schiff angibst, entscheidet über das Ergebnis. Das IMPP fragt gezielt nach Relativgeschwindigkeiten und Bezugssystemen.

Relativgeschwindigkeit

Zwei Autos auf einer Autobahn:

  • Gleiche Richtung: Relativgeschwindigkeit = Differenz ihrer Geschwindigkeiten.
  • Entgegengesetzte Richtung: Relativgeschwindigkeit = Summe der Beträge.

Das ist entscheidend, um z.B. Begegnungszeiten oder Annäherungsgeschwindigkeiten zu berechnen.

Besondere Bewegungsfälle: Kreis- und Schwingungsbewegung

Kreisbewegung: Geschwindigkeit und Beschleunigung verstehen

Bahngeschwindigkeit: Geschwindigkeit entlang der Kreisbahn, also tangential zur Kreislinie. \[ v = \omega r \] (\(\omega\): Winkelgeschwindigkeit, \(r\): Radius der Bahn)

Zentripetalbeschleunigung: Zeigt zum Mittelpunkt, sorgt dafür, dass das Objekt auf der Kreisbahn bleibt. \[ a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r \]

Periodendauer und Frequenz:

  • Bahnlänge einer Umdrehung: \(2\pi r\)
  • Periodendauer \(T\): Zeit für eine Umrundung
  • Frequenz \(f = 1/T\)
  • Zusammenhang: \(\omega = 2\pi f\)

Tangentialbeschleunigung: Nur wenn sich das Tempo ändert (z.B. schnelleres Kreisen); sie liegt tangential an der Kreisbahn, Zentripetalbeschleunigung immer radial.

NoteOhne Richtungsänderung keine Zentripetalbeschleunigung

Auch bei konstanter Geschwindigkeit im Kreis gibt es eine Beschleunigung – denn die Richtung ändert sich ständig.

Harmonische Schwingung und Federpendel

  • Auslenkung (Ort): \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \]
  • Geschwindigkeit: Erste zeitliche Ableitung der Auslenkung. \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \]
  • Beschleunigung: Zweite Ableitung (Achtung: Phasendrehung!) \[ a(t) = -A \omega^2 \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x(t) \]

Wichtige Punkte:

  • Im Ruhezustand (Mitte): Geschwindigkeit maximal, Beschleunigung null
  • Umkehrpunkt (max. Auslenkung): Geschwindigkeit null, Beschleunigung maximal (Richtungswechsel)
NoteSchwingung: Geschwindigkeit und Beschleunigung alternieren gegeneinander!

Maximale Geschwindigkeit in der Mitte, maximale Beschleunigung an den Endpunkten.

Überlagerte Bewegungen: Zusammensetze, was zusammen gehört!

Bewegungen lassen sich oft als Summe mehrerer (z.B. horizontal und vertikal, tangential und radial) Komponenten betrachten. Wichtig ist bei kombinatorischen Staatsexamenaufgaben:

  • Schrägwurf: Zerlege in horizontale und vertikale Bewegung, berechne Endgeschwindigkeit als Vektorsumme.
  • Rollendes Rad: Die Bewegung von Punkten am Rad setzt sich aus der Translation (des Schwerpunkts) und Rotation (um die Achse) zusammen.
  • Parameteränderungen: Doppelt so großer Radius bei gleicher Winkelgeschwindigkeit verdoppelt die Bahngeschwindigkeit, vervierfacht die Zentripetalbeschleunigung (\(a_c \propto r; a_c \propto \omega^2\)).
NoteIMPP liebt Parameterfragen!

Beispiel: Was passiert mit Geschwindigkeit und Beschleunigung, wenn der Radius sich ändert? Merkt euch den quadratischen Zusammenhang bei Zentripetalbeschleunigung!

Zusammengefasst: IMPP-Fallen – was ist wichtig im Examen?

  • Geschwindigkeit und Beschleunigung sind Vektoren: Betrag und Richtung.
  • Diagramme sicher deuten: Steigungen und Krümmungen erkennen!
  • Bewegungen immer bezogen auf ein klar definiertes Bezugssystem betrachten (Relativgeschwindigkeit!).
  • Überlagerte Bewegungen: Komponentenweise zerlegen, am Ende mit Satz des Pythagoras zusammenrechnen.
  • Bei Kreis- und Schwingungssystemen kennen, wie Geschwindigkeit und Beschleunigung zusammenhängen – insbesondere die phasengedrehten Verläufe bei Schwingung und die Zentripetalbeschleunigung beim Kreis.
  • Parameteränderungen (Radius, Geschwindigkeit, Frequenz) mit deren Auswirkungen auf Bewegung und Beschleunigung einordnen.

Die Fähigkeit, Bewegungsprobleme grafisch (Diagramme, Skizzen) und analytisch (Formeln) zu lösen, wird besonders häufig verlangt. Mit diesen Werkzeugen lassen sich fast alle Bewegungsaufgaben im Staatsexamen erfolgreich bearbeiten. Merkt euch: Immer Richtung, Betrag und Bezugssystem angeben und konsequent Komponenten zerlegen, dann könnt ihr auch komplexe Bewegungsprobleme souverän lösen!

Zusammenfassung

  • Geschwindigkeit ist ein Vektor, der sowohl den Betrag (z.B. km/h) als auch die Richtung einer Bewegung angibt; im Alltag liest du etwa am Tacho die Momentangeschwindigkeit, während die Durchschnittsgeschwindigkeit den Gesamtweg durch die Gesamtzeit misst.
  • Beschleunigung beschreibt jede Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit – also sowohl schneller werden, bremsen als auch Richtungswechsel wie bei einer Kurvenfahrt; Formel: \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\).
  • Kreisbewegungen zeichnen sich dadurch aus, dass die Geschwindigkeit stets tangential zur Bahn zeigt und selbst bei konstanter Geschwindigkeit durch Richtungsänderung immer eine Zentripetalbeschleunigung zum Mittelpunkt wirkt (\(a_c = \frac{v^2}{r}\)).
  • Bei Bewegungen in zwei Richtungen (z.B. Boot im Fluss, Schrägwurf) werden x- und y-Komponenten der Geschwindigkeit vektoriell addiert – die Gesamtgeschwindigkeit errechnet sich per Satz des Pythagoras.
  • Das Bezugssystem ist entscheidend: Relativgeschwindigkeit bedeutet, wie schnell ein Objekt im Vergleich zu einem anderen erscheint; Bewegungen werden immer relativ zu einem gewählten Beobachter beschrieben.
  • Bei harmonischen Schwingungen (z.B. Federpendel) sind Geschwindigkeit und Beschleunigung stets phasengedreht: Maximalgeschwindigkeit herrscht in der Ruhelage, maximale Beschleunigung an den Umkehrpunkten.
  • Das IMPP fragt häufig nach der Interpretation von s-t- und v-t-Diagrammen: Die Steigung im s-t-Diagramm entspricht der Geschwindigkeit, die Steigung im v-t-Diagramm der Beschleunigung.

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